Fourier, análisis de

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Fourier, análisis de
Definición breve: Es una herramienta matemática que permite expresar una función f ( t ) en relación a un conjunto de funciones ortogonales g i ( t ) , mediante una combinación lineal de éstas.
Tema: Análisis de Fourier
Subtema: Ondas armónicas continuas
Gráficos
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Ejemplo sonoro: https://www.youtube.com/watch?v=vQ8EfOwg7q8


Las ondas amónicas continuas no existen realmente, ya que todos los movimiento ondulados están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier se puede describir formas de ondas mas complejas como las que producen los instrumentos musicales. Este análisis surgió a partir de un intento matemático de este matemático francés por querer hallar la solución a un problema practico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

Descripción

Si la forma de la onda es periódica se puede representar con una precisión mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

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Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

  • Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos.
  • Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos.

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

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Análisis espectral

La serie de Fourier nos permite describir una señal en función del tiempo como la superposiciones de varias señales simples de varias frecuencias, múltiplos de la frecuencia fundamental 1/T. El espectro de frecuencia es una medida para la distribución de las amplitudes o de las faces de frecuencia. El proceso que cuantifica las intensidades de las frecuencias a esto se lo conoce como análisis espectral. Una señal periódica puede representarse mediante un gráfico de flechas paralelas al eje de las coordenadas de la altura en la frecuencia n/T. Una representación similar con rayas se puede hacer para el espectro de faces, donde ahora las flechas tendrán alturas iguales a los argumentos de On. Estos espectros podrían considerarse discretos, en el caso de que los Cn sean reales la señal tiene una sola referencia en la representación de frecuencias. Para la frecuencia dada para la siguiente gráfica, sus coeficientes son:

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Y su espectro de magnitud

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Sonido

El proceso de descomponer un sonido de un instrumento musical o cualquier otra función periódica, en ondas de senos y cosenos constituyentes, se llama análisis de Fourier.

Ejemplo:

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La onda de sonido se puede caracterizar en las amplitudes de las ondas sinusoidales y de las componentes que la conforman. Este conjunto de números, indica el contenido de armónicos de un sonido, y aveces hace referencia al espectro armónico del sonido. El contenido de armónicos es el más importante ya que es el determinante de la calidad o timbre de una nota musical sostenida. Una vez conocido el contenido de armónicos de un sonido musical, se tiene la capacidad de sintetizar ese sonido, mediante una serie de generadores de tonos puros, ajustando correctamente sus amplitudes y fases. Esto se denomina síntesis de Fourier. Una de las ideas más importantes para la reproducción del sonido que surge del análisis de Fourier es, que se necesita un sistema de audio de alta calidad para reproducir sonidos de percusión, o sonidos con rápidos transitorios. El sonido sostenido de un trombón, puede ser reproducido dentro de una gama limitada de frecuencias ya que la mayoría de la energía sonora se encuentra en los primeros pocos armónicos del tono fundamental. Pero si se sintetiza el agudo ataque de un platillo, es necesario un amplio rango de altas frecuencias para producir el cambio rápido. Se puede visualizar la tarea de añadir un montón de ondas sinusoidales para producir un pulso agudo, y tal vez se pueda ver que lo que se necesita son grandes amplitudes de ondas de altas frecuencias para producir el agudo ataque del platillo. Esta visión del análisis de Fourier se puede generalizar diciendo que cualquier sonido con un ataque agudo o un pulso agudo o los rápidos cambios en la forma de onda como una onda cuadrada, tienen una gran cantidad de contenido de alta frecuencia.

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La transformación de una onda cuadrada demuestra que solo tiene armónicos impares y la amplitud de esos armónicos caen en forma geométrica, con el armónico n-ésimo teniendo 1/n veces la amplitud de la fundamental.

Teorema de Fourier

La transformada de Fourier relaciona una función en el dominio del tiempo (en rojo) con una función en el dominio de la frecuencia (en azul). Las frecuencias componentes son representadas como picos en el dominio de la frecuencia.

La transformada de Fourier es un espectro de frecuencias de una función. Ejemplo, el oído humano que al recibe una onda auditiva la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se escucha). El oído humano percibe distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de frecuencias para toda la función.

Sea [math]f[/math] una función Lebesgue integrable:

La transformada de Fourier de [math]f[/math]es la función

[math]\mathcal{F} \{ f \} \ \ : \xi \mapsto \hat{f}(\xi) := \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i \xi x}\,dx, [/math]

Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa simple demuestra que la transformada de Fourier[math]F(f)[/math] es una función acotada. Además por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que [math]F(f)[/math] es continua.

La transformada de Fourier inversa de una función integrable [math]f [/math] está definida por:

[math]\mathcal{F}^{-1} \{ \hat{f} \} = f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,d\xi,[/math]

La única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa es el signo negativo en el exponente del integrando.

En la música

En el espectralismo podemos ver un claro ejemplo de esto ya que las ondas son descompuestas, y luego recreadas en formas musicales. Consiste en aplicar a la composición el análisis del espectro sonoro, por lo que en él influye el análisis armónico.

El espectro sonoro puede definirse como una serie de sonidos que acompañan a una nota fundamental por resonancia natural, que dan color y timbre al instrumento que vibra al emitir ésa nota.

Estos sonidos son llamados más comúnmente "armónicos". Este término no es del todo correcto, ya que en ciertos instrumentos (como los platillos en la percusión, por ej.) no se da una relación de serie armónica, sino que las relaciones son más irregulares, por lo que estos no serían "armónicos", sino más bien "inarmónicos". La única manera de aislar estos y reproducirlos por separado es mediante la síntesis de un sonido en un sintetizador de tonos puros (sinusoides). Ningún sonido de la vida real está compuesto por un solo inarmónico o tono puro. En los instrumentos de cuerda, estos "armónicos" se producen al apoyar el dedo con suavidad sobre los nodos. En una guitarra, por ejemplo, existen dos nodos extremos, donde se suele poner la amplificación por su riqueza armónica, y 23 nodos intermedios. El nodo número 12 concuerda con el traste del mismo número, donde se encuentra la octava de esa nota, y también con la mitad del mástil, donde los armónicos son más potentes; por lo tanto una octava se puede escribir como 2/1 (el numerador expresa el número de vibraciones del sonido agudo y el denominador las del sonido grave). El mismo mástil se podría dividir en tres, y el nodo concordaría con el traste de una quinta pitagórica e inexactamente con el traste número siete; sería el segundo armónico más potente y se expresaría con 3/2. Del mismo modo la cuarta dividiendo el mástil en cuatro partes, cuadrando inexactamente con el traste 5 y expresándose con la fracción 4/3.

Referencias