Condiciones de contorno

Definición Breve	Son capaces de cambiar por completo la manera en que percibimos el sonido que sale del instrumento, ya sea de metal como de madera
Tema	Condiciones de contorno
Audio	<embed>https://www.youtube.com/watch?v=fAxHlLK3Oyk El clarinete instrumento que posee un extremo abierto y otro cerrado https://www.youtube.com/watch?v=sHcneaZIvVM</embed>

Condiciones de contorno

Se entiende por condiciones de contorno al nodo (terminación abierta) o antinodo (terminación cerrada) que se encuentra en el extremo de cualquier sistema vibratorio.

Estas condiciones pueden combinarse de tres formas:

Terminación abierta abierta

Terminación cerrada cerrada

Terminación abierta cerrada

"Estas condiciones de contorno determinan los posibles modos de vibración. De los modos de vibración, se puede determinar la longitud de onda de cada modo. Una vez que tenemos la longitud de onda, podemos encontrar la frecuencia vibratoria de la expresión: f× l = v.

Un tubo con una terminación cerrada-cerrada tiene una serie: 1f, 2f, 3f, …que es una serie armónica.

Un tubo con una terminación cerrada abierta tiene una serie: 1f, 3f, 5f, … que es una serie armónica parcial.

Que sucede con un tubo cuyas terminaciones son abiertas abiertas? en ese caso debe haber un nodo en cada extremo. Por ende un tubo con una terminación abierta abierta tiene una serie: 1f, 2f, 3f, … que es una serie armónica.

Que efecto tienen estas distintas posibilidades en un instrumento musical? De los tres casos anteriormente mencionados (c-c, c-a, a-a) vemos que hay dos series posibles de series de armónicos: 1f, 2f, 3f, … y 1f, 3f, 5f, … Casi todos los metales y maderas tienen una serie armónica completa. La única excepción es el clarinete, que tiene la serie armónica parcial. Esto es lo que le da al clarinete su distintivo tono." (extraído y traducido de http://www.phys.uconn.edu/~gibson/Notes/Section3_6/Sec3_6.htm)

Las condiciones de contorno o de frontera, son las encargadas de hacer que el sonido que percibimos realizado por el instrumento pueda cambiar o variar depende de lo que haga el intérprete. Además hacen que el instrumento suene con poder y tenga "belleza". Éstas condiciones, terminan de definir un problema determinado de la física.

La ecuación que modela el sonido producido en por ejemplo la flauta y el clarinete, es la ecuación de ondas [[1]], pero se puede considerar que el problema antes mencionado es unidimensional, o sea, que desprecia el diámetro de estos instrumentos por considerarlo mucho menor que el largo. Entonces, las condición de contorno es la que se encarga de decirle a la ecuación "estás resolviendo una flauta/clarinete", o bien "estás modelando una flauta/clarinete". Para estos instrumentos de viento ya sean de madera, cañas, y metales o instrumentos de cuerda, ya sean percutida, frotada o pulsada, obedezcan la ecuación de onda unidimensional con condiciones de contorno apropiadas.

Ecuación de ondas unidimensionales:

La longitud del instrumento la medimos a lo lardo del eje "x"; "t" es el tiempo y "v" es la velocidad del sonido (esto en ondas acústicas). La letra griega "Psi" representa la variable que utilizamos para modelar el fenómeno. En el caso de ondas acústicas es usual elegir el desplazamiento del fluido o bien la presión acústica; cualquier elección que se haga dará resultados análogos.

Supongamos que la variable de campo "Ψ" representa la presión acústica (que no es mas que la presión del fluido considerando como referencia a la presión atmosférica). "Ψ" depende de "x" (la posición) y "t" (el tiempo).

La flauta, en una primera aproximación, la consideramos un tubo de longitud "L" con dos extremos abiertos. Sabemos que los labios no tapan la embocadura al soplar, por esto, la presión dentro del tubo, justo en los extremos, es igual a la presión fuera del tubo. Por lo tanto la presión acústica, que es la presión del fluido pero tomando como referencia la presión atmosférica, es 0. Yendo a símbolos matemáticos seria Ψ(0, t) = 0 y Ψ(L, t) = 0 ; es decir la presión acústica en el extremo x = 0 y x = L se anula.

Para fijar ideas, matemáticamente el problema a resolver es:

Básicamente, es una ecuación diferencial homogénea en derivadas parciales con condiciones de contorno de Dirichlet. No hace falta nombrar que faltan las condiciones iniciales, es decir, indicar si hay fluido moviéndose en el tubo y a qué velocidad, se pueden obviar, pero con las condiciones de contorno es suficiente para hallar el espectro de frecuencias.

Al resolver la ecuación nos dice que únicamente son posibles las longitudes de onda que cumplan la condición de que la presión acústica se anule en los extremos. Y acá está el punto importante ya que el sistema fuerza a que las longitudes de onda permitidas sean aquellas que cumplan la condición de contorno. Por ejemplo:

En el primer cuadro tenemos un modo fundamental y su longitud de onda es λ1 = 2L ; en el cuadro siguiente está el primer armónico y su longitud de onda es λ2 = L ; en el ultimo cuadro esta el segundo armonico con λ3 = 2L/3 . En general tenemos λn = 2L/n. Si recordamos que v = λf donde "v" es la velocidad del sonido y "f" es la frecuencia, entonces podemos escribir fn = v/λn = n.v/2L con n=1,2,3...

F0 = v/2L es la frecuencia fundamental.

Y comprobamos entonces que el espectro se puede escribir con múltiplos enteros de la fundamental.

Clarinete

Con el clarinete pasa algo diferente, ya que es un tubo de longitud "L", pero ahora uno de sus extremos está cerrado (ver Tubos – longitud de onda) ; los labios tapan la embocadura y además ésta, está por si misma prácticamente cerrada, asi que esto lo cambia todo. Para indicarle a la ecuación que la embocadura está cerrada, colocamos una condición de contorno diferente. En este caso la presión en el extremo cerrado, es máxima. Al resolver, nuevamente, el sistema sólo considera aquellas longitudes de onda que cumplen las condiciones de contorno (para este caso presión acústica máxima en un extremo y cero en el otro).

Vemos en la figura cómo cambian las longitudes de onda respecto al caso de la flauta:

La longitud de onda del modo fundamental es λ1 = 4L . El primer armónico es λ2 = 4L/3 y el segundo λ3 = 4L/5

En general la longitud de onda es λn = 4L/2n-1

Por otra parte utilizando nuevamente fn = v/λn encontramos que fn = (2n-1)v/4L con n = 1,2,3,4...

Siendo la frecuencia fundamental para el clarinete f0 = v/4L

Escribimos entonces el espectro de frecuencias como sigue

fn = f0, 3f0, 5f0, 7f0 , ... , (2n - 1)f0 o sea, que serían múltiplos impares de la fundamental.

Hay dos diferencias que podemos resaltar:

Existen armónicos que el clarinete no puede hacer. Para precisar, la flauta hace el espectro habitual: fundamental, octava, quinta, octava, tercera, quinta, octava.

En cambio, el clarinete hace: fundamental, quinta, tercera, octava. Las diferencias son evidentes.

Las frecuencias fundamentales son diferentes.

Flauta: v/2L .
- Clarinete: v/4L .

Al ser el denominador mayor para el clarinete (4L), la frecuencia fundamental del clarinete es menor y por lo tanto emite un sonido fundamental más grave. Es por esto que si bien el largo de una flauta y de un clarinete en si bemol es similar, el clarinete tiene una tesitura más grave que la flauta.

En general, si tenemos un nodo o un antinodo en un extremo de una cuerda o tubo o cualquier sistema de vibración se llama condición de contorno.

Las condiciones de contorno para una columna de aire son:

El extremo cerrado: anti-nodo.

Extremo abierto: nodo.

Estas condiciones de contorno determinan los posibles modos de vibración. De los modos de vibración, se puede determinar la longitud de onda de cada modo. Una vez que tenemos la longitud de onda, podemos encontrar la frecuencia vibratoria.

Aquí un video que explica la ecuación de las ondas:

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Referencias