Fourier, análisis de

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Fourier, análisis de
Definición BreveEs una herramienta matemática que permite expresar una función f ( t ) en relación a un conjunto de funciones ortogonales g i ( t ) , mediante una combinación lineal de éstas.
TemaAnálisis de Fourier
SubtemaOndas armónicas continuas
Audio<embed>link web al ejemplo sonoro</embed>

Las ondas amónicas continuas no existen realmente, ya que todos los movimiento ondulados están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier se puede describir formas de ondas mas complejas como las que producen los instrumentos musicales. Este análisis surgió a partir de un intento matemático de este matemático francés por querer hallar la solución a un problema practico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

Descripción

Si la forma de la onda es periódica se puede representar con una precisión mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se representa en forma de suma infinita de funciones armónicas, es decir

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donde el periodo P=2p/w, y a0 a1 ...ai ... y b1 b2 .... bi .... son los llamados coeficientes de Fourier. Conocida la función periódica f(t), se calcula coeficientes ai y bi del siguiente modo

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Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

  • Si g(x) es una función par, g(x)=g(-x), los términos bi son nulos.
  • Si g(x) es impar g(x)=-g(-x), los coeficientes ai son nulos.

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

Análisis espectral

La serie de Fourier nos permite describir una señal en función del tiempo como la superposiciones de varias señales simples de varias frecuencias, múltiplos de la frecuencia fundamental 1/T. El espectro de frecuencia es una medida para la distribución de las amplitudes o de las faces de frecuencia. El proceso que cuantifica las intensidades de las frecuencias a esto se lo conoce como análisis espectral. Una señal periódica puede representarse mediante un gráfico de flechas paralelas al eje de las coordenadas de la altura en la frecuencia n/T. Una representación similar con rayas se puede hacer para el espectro de faces, donde ahora las flechas tendrán alturas iguales a los argumentos de On. Estos espectros podrían considerarse discretos, en el caso de que los Cn sean reales la señal tiene una sola referencia en la representación de frecuencias. Para la frecuencia dada para la siguiente gráfica, sus coeficientes son:

Y su espectro de magnitud

Sonido

El proceso de descomponer un sonido de un instrumento musical o cualquier otra función periódica, en ondas de senos y cosenos constituyentes, se llama análisis de Fourier.

Ejemplo:

La onda de sonido se puede caracterizar en las amplitudes de las ondas sinusoidales y de las componentes que la conforman. Este conjunto de números, indica el contenido de armónicos de un sonido, y aveces hace referencia al espectro armónico del sonido. El contenido de armónicos es el más importante ya que es el determinante de la calidad o timbre de una nota musical sostenida. Una vez conocido el contenido de armónicos de un sonido musical, se tiene la capacidad de sintetizar ese sonido, mediante una serie de generadores de tonos puros, ajustando correctamente sus amplitudes y fases. Esto se denomina síntesis de Fourier. Una de las ideas más importantes para la reproducción del sonido que surge del análisis de Fourier es, que se necesita un sistema de audio de alta calidad para reproducir sonidos de percusión, o sonidos con rápidos transitorios. El sonido sostenido de un trombón, puede ser reproducido dentro de una gama limitada de frecuencias ya que la mayoría de la energía sonora se encuentra en los primeros pocos armónicos del tono fundamental. Pero si se sintetiza el agudo ataque de un platillo, es necesario un amplio rango de altas frecuencias para producir el cambio rápido. Se puede visualizar la tarea de añadir un montón de ondas sinusoidales para producir un pulso agudo, y tal vez se pueda ver que lo que se necesita son grandes amplitudes de ondas de altas frecuencias para producir el agudo ataque del platillo. Esta visión del análisis de Fourier se puede generalizar diciendo que cualquier sonido con un ataque agudo o un pulso agudo o los rápidos cambios en la forma de onda como una onda cuadrada, tienen una gran cantidad de contenido de alta frecuencia.

La transformación de una onda cuadrada demuestra que solo tiene armónicos impares y la amplitud de esos armónicos caen en forma geométrica, con el armónico n-ésimo teniendo 1/n veces la amplitud de la fundamental.


Referencias

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