Fourier, teorema de

Fourier, teorema de

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Definición Breve	Dentro de lo que es la Acústica, este teorema plantea que una señal compleja y periódica puede descomponerse en una suma de infinitas sinusoides que se encuentran en relación armónica y cuya fundamental posee el mismo periodo que el de la señal periódica compleja que se está analizando.
Tema	Fourier
Subtema	Teorema de Fourier
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Este teorema lleva su nombre por Jean-Baptiste Joseph Fourier, un físico y matemático francés de finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, quien a través del estudio de funciones periódicas complejas llegó a la conclusión de que éstas pueden ser descompuestas en una serie de elementos mucho más simples y de esta forma ser analizadas. El teorema de Fourier no se confina exclusivamente a lo que se denomina Acústica, pero en este caso se hablará de dicho teorema en relación directa con tal disciplina.

Dentro del área científica que estudia el sonido, el teorema de Fourier tuvo y tiene un gran impacto. Tal teorema, dentro de lo que es la Acústica, expone que toda señal periódica compleja, al ser estudiada, puede ser descompuesta en infinitas sinusoides puestas en relación armónica cuya fundamental posea el mismo periodo que el de la señal periódica compleja que se está analizando.

Para desarrollar lo anterior es necesario explicar que:

1). Una señal periódica (sea esta compleja o no) se caracteriza por tener justamente un periodo estable y preciso, por ende se caracteriza también por tener una frecuencia determinada lo cual conlleva a poder asignarle a esa señal un tono o una nota, o un valor entre notas. Dicho de otra forma, siempre que un sonido se pueda percibir asignándole un tono ese sonido va a ser periódico, va a tener un periodo estable, es decir que siempre va a cumplir un ciclo en la misma cantidad de tiempo, por ende también va a tener una frecuencia determinada porque ésta es cuántos ciclos por segundo cumple una señal acústica y ya que una señal periódica tiene una cantidad de ciclos por segundos estable se le va a poder asignar un valor de frecuencia de onda preciso y, para reiterar, eso se traduce en que a una señal periódica siempre va a ser posible asignarle altura tonal.

2). Una suma de sinusoides se encuentra en relación armónica cuando las sinusoides que componen esa suma se encuentran a una distancia igual unas de otras, esa distancia entre cada sinusoide es del valor del primer elemento que compone esa suma y al cual se denomina fundamental. Es decir que todos los elementos superiores a la fundamental son un múltiplo entero de la misma. Cada elemento que compone esa suma de sinusoides usualmente se denomina armónico, y puede calcularse cada armónico multiplicando el valor de la fundamental por el número de armónico que se quiera calcular, por ejemplo:

A continuación se expondrá los valores de los armónicos que conforman una suma de sinusoides en relación armónica cuyo valor inicial, es decir fundamental, sea 100Hz:

• 100Hz - Armónico I (frecuencia fundamental)
• 200Hz - Armónico II
• 300Hz - Armónico III
• 400Hz - Armónico IV
• 500Hz - Armónico V
• 600Hz - Armónico VI
• Etc. (La cantidad de armónicos pueden ser infinitos)

En la precedente tabla se puede apreciar lo explicado con anterioridad. La distancia entre cada armónico es el valor de la fundamental, en este caso, 100 Hz; y para calcular el valor de cada armónico sólo es necesario multiplicar el valor de la fundamental por el número de armónico que se quiera calcular, por ejemplo: En este caso si tengo como fundamental 100Hz y quiero saber cuál va a ser el valor del armónico V, voy a realizar la siguiente operación: "100Hz (valor de la fundamental) x 5 (número de armónico que deseo calcular) = 500Hz (valor del armónico V)".

Por último cabe destacar que cuando se suman sinusoides con distintas frecuencias pero que responden a un valor fundamental, es decir que se encuentran en relación armónica, el resultado que se obtiene es una sola señal acústica cuya forma de onda y sonoridad tímbrica va a ser mucho más compleja que la de una sinusoide. Además esa señal también va a tener una frecuencia determinada con un periodo particular que va a estar dado por el elemento fundamental.

3). El espectro del sonido está constituido por las frecuencias particulares que se encuentren dentro de una señal acústica determinada y las respectivas amplitudes que le correspondan a cada una de esas frecuencia. Existen dos tipos de espectros del sonido, los armónicos y los inarmónicos. Los primeros se caracterizan por estar compuesto por sinusoides en relación armónica; los segundos, por oposición a al primer tipo, representan señales acústicas compuestas por sinusoides cuyas frecuencias no están relacionadas entre sí en función a una fundamental, este último tipo de espectro del sonido se ve particularmente en fenómenos sonoros no periódicos, es decir aquellos a los cuales no es posible adjudicarles un tono.

Habiendo explicado todo lo anterior, quizás ahora sea más fácil retomar la idea de que "toda señal periódica compleja, al ser estudiada, puede ser descompuesta en infinitas sinusoides puestas en relación armónica cuya fundamental posea el mismo periodo que el de la señal periódica compleja que se está analizando". Ese enunciado lo que dice es que una señal periódica compleja (es decir que no es una sinusoide) está formada por infinitos elementos mucho más simples, ahora sí, sinusoides (las cuales, a su vez, se encuentran en relación armónica).

Por otro lado, la señal acústica que se está analizando, al ser periódica, tiene una frecuencia determinada dada a su vez por un periodo particular y estable, por lo cual a esa señal compleja periódica se le puede asignar altura tonal. Siguiendo esta línea, lo que plantea el teorema es que esa señal acústica compleja y periodica puede desomponerse o reconstruirse a partir de una suma de sinusoides armónicas cuyo periodo de fundamental sea el mismo que el periodo de onda de la señal compleja que se estaba analizando, esto es sencillamente por una gran razón, si el periodo de la fundamental de la suma de sinusoides no coincide con el de la señal acústica compleja esas dos señales (la resultante de la suma de sinusoides y la señal compleja que se busca analizar) presentarían una frecuencia de onda diferente y a cada una sería posible en cierta medida asignarle una altura tonal distinta.

Ejemplo gráfico y sonoro.

Referencias

• Basso, Gustavo: "Análisis Espectral. La transformada de Fourier en la Música" (2001) Editorial de la Universidad Nacional de La Plata.
• Basso, Gustavo: "Percepción auditiva" (2006) Universidad Nacional de Quilmes Editorial.
• Miyara, Federico: "Acústica y sistemas de sonido" (1999) Editorial de la Universidad Nacional de Rosario.