Fourier, teorema de

Fourier, teorema de

Definición Breve	En Acústica, este teorema plantea que toda señal compleja periódica puede descomponerse en una suma de infinitas sinusoides en relación armónica cuya fundamental tenga el mismo periodo que la señal compleja que se está analizando.
Tema	Fourier
Subtema	Teorema de Fourier
Audio	<embed>"Partiels", Gérard Grisey.</embed>

Este teorema lleva su nombre por Jean-Baptiste Joseph Fourier, un físico y matemático francés de finales del siglo XVIII y principios del siglo XIX, quien a través del estudio de funciones periódicas complejas llegó a la conclusión de que éstas pueden ser descompuestas en una serie de elementos mucho más simples y de esta forma ser analizadas. El teorema de Fourier no se confina exclusivamente a lo que se denomina Acústica, pero en este caso se hablará de dicho teorema en relación directa con tal disciplina.

Dentro del área científica que estudia el sonido, el teorema de Fourier tuvo y tiene un gran impacto. Tal teorema, dentro de lo que es la Acústica, expone que toda señal periódica compleja, al ser estudiada, puede ser descompuesta en infinitas sinusoides puestas en relación armónica cuya fundamental posea el mismo periodo que el de la señal periódica compleja que se está analizando.

Para desarrollar mejor lo anterior es necesario explicar que:

1). Una señal periódica (sea esta compleja o no) se caracteriza por tener justamente un periodo estable y preciso, por ende se caracteriza también por tener una frecuencia determinada lo cual conlleva a poder asignarle a esa señal un tono o una nota, o un valor entre notas. Dicho de otra forma, siempre que un sonido se pueda percibir asignándole un tono ese sonido va a ser periódico, va a tener un periodo estable, es decir que siempre va a cumplir un ciclo en la misma cantidad de tiempo, por ende también va a tener una frecuencia determinada porque ésta es cuántos ciclos por segundo cumple una señal acústica y ya que una señal periódica tiene una cantidad de ciclos por segundos estable se le va a poder asignar un valor de frecuencia de onda preciso y, para reiterar, eso se traduce en que a una señal periódica siempre va a ser posible asignarle altura tonal.

2). Una suma de sinusoides se encuentra en relación armónica cuando las sinusoides que componen esa suma se encuentran a una distancia igual unas de otras, esa distancia entre cada sinusoide es del valor del primer elemento que compone esa suma y al cual se denomina fundamental, todos los elementos superiores a la fundamental son un múltiplo entero de la misma. Cada elemento que compone esa suma de sinusoides usualmente se denomina armónico, y puede calcularse cada armónico multiplicando el valor de la fundamental por el número de armónico que se quiera calcular, por ejemplo:

A continuación se expondrá los valores de los armónicos que conforman una suma de sinusoides en relación armónica cuyo valor inicial, es decir fundamental, sea 100Hz:

• 100Hz - Armónico I (frecuencia fundamental)
• 200Hz - Armónico II
• 300Hz - Armónico III
• 400Hz - Armónico IV
• 500Hz - Armónico V
• 600Hz - Armónico VI
• Etc. (La cantidad de armónicos pueden ser infinitos)

En la precedente tabla se puede apreciar lo explicado con anterioridad. La distancia entre cada armónico es el valor de la fundamental, en este caso, 100 Hz; y para calcular el valor de cada armónico sólo es necesario multiplicar el valor de la fundamental por el número de armónico que se quiera calcular, por ejemplo: En este caso si tengo como fundamental 100Hz y quiero saber cuál va a ser el valor del armónico V, voy a realizar la siguiente operación: "100Hz (valor de la fundamental) x 5 (número de armónico que deseo calcular) = 500Hz (valor del armónico V)".

Cabe destacar que cuando se suman sinusoides con distintas frecuencias pero que responden a un valor fundamental, es decir que se encuentran en relación armónica, el resultado que se obtiene es una sola señal acústica cuya forma de onda y sonoridad tímbrica va a ser mucho más compleja que la de una sinusoide. Además esa señal también va a tener una frecuencia determinada con un periodo particular que va a estar dado por el elemento fundamental.

Por último es necesario mencionar lo que se entiende por "espectro del sonido", el mismo está constituido por las frecuencias particulares que se encuentren dentro de una señal acústica determinada y las respectivas amplitudes que le correspondan a cada una de esas frecuencia. Existen dos tipos de espectros del sonido, los armónicos y los inarmónicos. Los primeros se caracterizan por estar compuesto por sinusoides en relación armónica; los segundos, por oposición a al primer tipo, representan señales acústicas compuestas por sinusoides cuyas frecuencias no están relacionadas entre sí en función a una fundamental, este último tipo de espectro del sonido se ve particularmente en fenómenos sonoros no periódicos, es decir aquellos a los cuales no es posible adjudicarles un tono.

Habiendo explicado todo lo anterior, quizás ahora sea más fácil retomar la idea de que "toda señal periódica compleja, al ser estudiada, puede ser descompuesta en infinitas sinusoides puestas en relación armónica cuya fundamental posea el mismo periodo que el de la señal periódica compleja que se está analizando". Ese enunciado lo que dice es que una señal periódica compleja (es decir que no es una sinusoide) está formada por infinitos elementos mucho más simples, ahora sí, sinusoides (las cuales, a su vez, se encuentran en relación armónica).

Por otro lado, la señal acústica que se está analizando, al ser periódica, tiene una frecuencia determinada dada a su vez por un periodo particular y estable, por lo cual a esa señal compleja periódica se le puede asignar altura tonal. Siguiendo esta línea, lo que plantea el teorema es que esa señal acústica compleja y periódica puede descomponerse o reconstruirse a partir de una suma de sinusoides armónicas cuyo periodo de fundamental sea el mismo que el periodo de onda de la señal compleja que se estaba analizando, esto es sencillamente por una gran razón, si el periodo de la fundamental de la suma de sinusoides no coincide con el de la señal acústica compleja esas dos señales (la resultante de la suma de sinusoides y la señal compleja que se busca analizar) presentarían una frecuencia de onda diferente y a cada una sería posible en cierta medida asignarle una altura tonal distinta, por ende esas dos señales no se corresponderían.

Para concluir, se podría decir que este teorema lo que permite hacer dentro de la Acústica es analizar cómo está compuesta cualquier señal periódica compleja. Aunque en realidad ahí faltaría algo más; porque no todas las señales acústicas complejas son periódicas, por ende no todas las señales acústicas van a tener una frecuencia definida, ni un periodo definido y mucho menos van a tener a todos sus componentes en relación armónica. Siguiendo esta línea, si se quiere analizar una señal acústica compleja pero que no es periódica lo que Fourier plantea que se puede hacer es tomar un fragmento de dicha señal e interpretarlo como si ese fuera el periodo y de esta forma saber qué componentes tiene esa señal acústica compleja no periódica. Entonces se podría decir que el Teorema de Fourier sirve para analizar y saber cómo está compuesta cualquier tipo de señales acústicas complejas, sean éstas periódicas o no.

Ejemplo gráfico.

El gráfico que se encuentra a la derecha de este apartado fue extraído del libro "Análisis Espectral. La transformada de Fourier en la Música" (2001) escrito por Gustavo Basso. El mismo corresponde a una suma de sinusoides armónicas con fundamental en 100Hz.

Como se puede percibir, la imagen consta de cuatro gráficos. En el primero se puede ver una onda sinusoidal con frecuencia en 100Hz (la cual va a cumplir el rol de fundamental). En el segundo gráfico aparece una onda un poco más compleja resultante de la suma de la frecuencia anterior más una sinusoide de 200Hz (Segundo armónico). En el tercer gráfico se percibe otra onda un poco más compleja que la anterior resultante de la suma de las frecuencias precedentes más 300Hz (Tercer armónico). Por último en el cuarto gráfico lo que aparece es una señal mucho más compleja que la inicial compuesta por las frecuencias mencionadas anteriormente más 400Hz (Cuarto armónico).

Ejemplo sonoro.

El ejemplo sonoro-musical que fue elegido en este trabajo es "Partiels" de Gérard Grisey una obra perteneciente a lo que se conoce como Espectralismo, un género musical en donde las señales acústicas son descompuestas y sus armónicos son utilizados como elementos compositivos de gran relevancia, y es justamente en este sentido que la obra se relaciona con el teorema de Fourier: La misma está construida a partir de la descomposición de un Mi2 producido por un trombón y en base al espectro armónico de ese sonido es que está construida esta pieza musical; por ejemplo, en la primera sección de la obra puede apreciarse como las notas producidas por los diferentes instrumentos siguen una serie armónica cuya fundamental es Mi2, es decir que todos esos sonidos que se pueden escuchar son frecuencias cuyos valores son múltiplos enteros del Mi2 mencionado anteriormente.

Otro ejemplo sonoro puede ser música que utilice chips de síntesis aditiva. Este tipo de síntesis existe gracias a la aplicación del teorema de Fourier que permitió la emulación de ondas sonoras complejas existentes en instrumentos y medios acústicos, mediante dispositivos electrónicos. Un ejemplo icónico es el chip de Yamaha YMF262, también denominado OPL, ampliamente utilizado en tarjetas de sonido para computadora como la AdLib y Sound Blaster. Este chip, al igual que otros comparten como principio de funcionamiento la combinación de síntesis aditiva y de FM.

El compositor Soichi Terada se vale de dispositivos que utilizan síntesis para la creación de timbres complejos. Se puede observar en su canción Sun shower la utilización de sintetizadores que emulan sonidos de instrumentos acústicos. Entre ellos se puede distinguir un triángulo, en semicorcheas, presente durante toda la pieza, claramente creado por procedimientos de síntesis.

Referencias

• Basso, Gustavo: "Análisis Espectral. La transformada de Fourier en la Música" (2001) Editorial de la Universidad Nacional de La Plata.
• Basso, Gustavo: "Percepción auditiva" (2006) Universidad Nacional de Quilmes Editorial.
• Miyara, Federico: "Acústica y sistemas de sonido" (1999) Editorial de la Universidad Nacional de Rosario.
• Página en Wikipedia sobre Espectralismo.