Leyes de Mersenne

Definición Breve	Cuatro leyes que relacionan cuatro parámetros de una cuerda vibrante que produce una frecuencia determinada.
Tema	Leyes de Mersenne
Subtema	[[Acústica::Velocidad de propagación en una cuerda, Longitud de onda, Tensión, Densidad lineal]]
Audio	<embed>El Poncho</embed>

Marin Mersenne

Biografía

"Marin Mersenne (Oizé, 8 de septiembre de 1588 – París, 1 de septiembre de 1648) fue un sacerdote y filósofo francés del siglo XVII que estudió diversos campos de la teología, matemáticas y la teoría musical.

En el año 1640, el llamado “el padre de la Acústica”, realizó medidas de la velocidad del sonido utilizando el fenómeno del eco y demostrando que, contrariamente a lo afirmado por Aristóteles, dicha velocidad es independiente de la frecuencia de la perturbación. Mersenne también demostró experimentalmente que en una cuerda la frecuencia del armónico fundamental depende directamente de la raíz cuadrada de la tensión, del inverso de la raíz cuadrada de la densidad lineal de la cuerda y del inverso de la longitud de la misma. Estas relaciones se denominaron Leyes de Mersenne y son fácilmente demostrables hoy día. En su obra “Armonía Universal” (1636), Mersenne describió además la primera determinación absoluta de la frecuencia de un tono audible (de 84Hz). Independientemente de Galileo descubrió las leyes de la cuerda vibrante, completando el trabajo realizado por Pitágoras".

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Leyes de Mersenne

1) "La frecuencia del sonido producido por una cuerda es inversamente proporcional a la longitudde la misma."

$f={1 \over L}.$

En efecto, al aumentar o disminuir el denominador de la expresión, la frecuencia variará disminuyendo o aumentando. De esta forma a cuerdas cortas corresponden frecuencias altas y a cuerdas largas frecuencias bajas.

2) "La frecuencia del sonido producido por una cuerda es directamente proporcional a la raíz cuadrada de la tensión a la que está sometida la misma. "

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Al girar las clavijas en una guitarra regulamos la tensión sobre las cuerdas cambiando la tonalidad del armonico fundamental, osea el sonido producido al pulsar la cuerda "al aire". Hacia ambos lados de la cejilla se produce una tensión cuya resultante es igual a la fuerza que estamos ejerciendo al girar la clavija.

$f={\sqrt {T}}.$

Al aumentar la tensión, la frecuencia varía en la proporción de la raíz cuadrada de la misma. Este es un conocido principio de los instrumentos de cuerda, en los que para afinar se debe mover las clavijas en el sentido necesario para dar mayor o menor tensión a (a cuerda hasta conseguir el sonido deseado. Obviamente que mientras mas fuerza apliquemos al tensionar mas la cuerda esta producirá una frecuencia cada vez más alta.

3) "La frecuencia del sonido producido por una cuerda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal de la misma."

$f={1 \over {\sqrt {\mu }}}.$

Las cuerdas más densas producen frecuencias más bajas que las cuerdas menos densas. Con objeto de aumentar la densidad se recurre al entorchado de las cuerdas. Dichas cuerdas entorchadas se utilizan en la región grave de ciertos instrumentos como el piano, guitarra, arpa.

4) "La frecuencia del sonido producido por una cuerda es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la sección de la misma o, lo que es lo mismo, su diámetro. "

$f={1 \over {\sqrt {s}}}.$

En efecto, las cuerdas más gruesas, mayor diámetro, se emplean en las regiones graves, reservándose las cuerdas finas para las regiones agudas. Esta ley guarda una estrecha relación con la anterior ya que al entorchar las cuerdas para aumentar su densidad tambien se agranda la superficie transversal de la misma, es decir su diámetro.

Cuerda vibrante

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Si la longitud de la cuerda es L, la armónica fundamental es la que se produce por la vibración cuyos nodos son los dos extremos de la cuerda, por lo cual L es la mitad de la longitud de onda (λ)de la armónica fundamental.

"La velocidad de propagación de una onda en una cuerda (v) es proporcional a la raíz cuadrada de la tensión de la cuerda (T) e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la densidad lineal (u) de la cuerda:"

$v={\sqrt {T \over \mu }}.$

"Una vez que se conoce la velocidad de propagación, se puede calcular la frecuencia del sonido producido por la cuerda. La velocidad de propagación de la onda es igual a la longitud de onda λ dividida por el período τ, o multiplicada por la frecuencia."

$v={\frac {\lambda }{\tau }}=\lambda f.$

Por lo tanto se verifican las Leyes de Mersenne:

$f={\frac {v}{2L}}={1 \over 2L}{\sqrt {T \over \mu }}$

donde T es la tensión, µ es la densidad lineal (o sea la masa por unidad de longitud de cuerda), y L es la longitud de la parte vibrante de la cuerda.

Ejemplo Sonoro

El Poncho

En esta obra Abel Carlevaro comienza los primeros compases ejecutando una melodía aguda en las tres primeras cuerdas de la guitarra en la afinación convencional Mi (primera cuerda), Si y Sol y una grave sobre las cuerdas entorchadas Re, La, Mi. Las tres primeras cuerdas estan hechas de nylon por lo que corresponde a una densidad lineal menor que las cuerdas que se encuentran entorchadas (las tres mas graves). Asimismo la densidad lineal partiendo de la primera cuerda no es lo único que aumenta sino también el diametro de cada una. Algo opuesto ocurre con la tensión que disminuirá a medida que se suba a la siguiente cuerda. El único parametro para determinar las frecuencias a la que se afinarán cada cuerda es la longitud, la cuál se mantendra constante hasta que quien ejecute una pieza sobre ella la modifique. Estos parametros provocan que la primera cuerda sea la que produzca la frecuencia más alta y la última (la sexta cuerda), más baja. Las cuerdas pulsadas al aire suena a la frecuenia fundamental de afinación como dijimos anteriormente pero cada cuerda que es apretada contra el mastil en un traste determinado sonará a una frecuencia distinta porque el ejecutante modificará así el único parametro constante de las cuerdas, la longitud. Cuando quien ejecute presiona la cuerda en el traste doce está dividiendo a la mitad la longitud de la cuerda por lo tanto, siguiendo la primera Ley de Mersene, la frecuencia se duplicaría, perceptivamente esto lo notamos como una octava mas aguda que la frecuencia fundamental de la cuerda que se esta tocando. En la obra Carlevaro utiliza un recurso más para modificar la frecuencia de una cuerda, utilizar los armonicos. Esto produce un nodo o punto en donde la cuerda no vibra pero a ambos lados de ese nodo si. Si en vez de presionar la cuerda en el traste doce se la rosa con el dedo suavemente lo que se escuchará es el segundo armonico de la frecuencia fundamental de esa cuerda. No se modifica la longitud de la misma sino que se altera la manera de vibrar de la misma. Cuando la cuerda se pulsa al aire o con el dedo en algún traste ambos extremos en ese momento son fijos por lo que la cuerda vibra sono una véz en medio de ambos en cambio al producir un nodo en la mitad forzamos a la cuerda a vibrar dos veces dentro de esos extremos.

Referencias

Wikipedia Marin Mersenne Wikipedia Cuerda Vibrante Blog de física Velocidad de propagación en una cuerda Longitud de onda Tensión